Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity - Réseau de recherche en Théorie des Systèmes Distribués, Modélisation, Analyse et Contrôle des Systèmes Access content directly
Theses Year : 2023

Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity

Mesures SRB pour les systèmes hyperboliques de faible régularité

Abstract

Let $M$ be a compact Riemannian manifold, and $f:M\to M$ a $C^1$ hyperbolic diffeomorphism. Such a map has a lot of invariant measures, however, there are two interesting classes called physical and SRB measures (see Definition \ref{Definition of physical measure} and Definition \ref{Definition of SRB measure}). Roughly speaking, a physical measure gives us the asymptotic behavior of the orbit of a typical point with respect to the Lebesgue measure on $M$. If $f$ is $C^{1+\alpha},$ it is a classical result that $f$ has a unique SRB measure which is also physical (for a survey article see \cite{Young2002SRBsurvey}). In this thesis, we will be interested in the existence of physical and SRB measures in weak regularity. If $\omega:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ is a modulus of continuity, we say that $f$ is $C^{1+\omega}$ if $f$ is $C^1$ and the modulus of continuity of $df$ is at most a multiple of $\omega,$ i.e there is $C>0$ such that \begin{equation*} \|df_x-df_y\|\leq C\omega\big(d(x,y)\big), \forall x,y\in M. \end{equation*} We say that a modulus $\omega$ is Dini summable if \begin{equation}\label{Dini condition} \int_0^1\frac{\omega(t)}{t}~dt<+\infty. \end{equation} This condition was known since the work of Anosov in 1967 \cite{anosov1967geodesic,AnosovRemark}, but he didn't give it a specific name. Later in 1975, Walters gave an equivalent formulation of this condition in the case of a symbolic space, which is a summability of variation \cite{WaltersSummabilityOscilation}. Then, in 1994, Gora named this condition Schmitt's condition, and proved that it is the weakest condition that ensures the existence of an absolutely continuous invariant probability measure (ACIP) for a piecewise expanding map \cite{SchmittCondition}. Soon after, in 2000, Li and Zhang named this condition Dini condition, and showed that it is sufficient to get the convergence of the transfer operator \cite{ExistSRBExpandZhang}. Separately, in 2001 Fan and Jiang proved the same results (see \cite{FanJiang}), moreover, they gave a speed of convergence of the transfer operator defined by a potential that has a Dini modulus of continuity (\cite{FanJiang2001speed}). (for a more classical introduction to transfer operator see \cite{Polli1990Zeta, BaladiTransferOp}). If $T$ is a $C^1$ expanding map, with a derivative that has a modulus that satisfies condition \eqref{Dini condition}, then $T$ has a unique ergodic ACIP. Gora and Schmitt gave an explicit example of a $C^1$ expanding map that does not admit an ACIP \cite{GoraSchmittExample}. Then, Quas proved that generically $C^1$ expanding maps of the circle do not have an ACIP \cite{QuassNoAcip}, and he gave an example of a $C^1$ expanding map with an ACIP which is not ergodic. Soon after, Avila and Bochi proved that generically $C^1$ maps of a smooth compact Riemannian manifold do not have an ACIP \cite{AvilaBochiNoAcip}. A natural question to ask is whether condition \eqref{Dini condition} is sufficient to have a SRB and physical invariant measures for hyperbolic maps. The answer is positive, and it is the main goal of this thesis.
Soit $M$ une variété riemannienne compacte, et $f:M\to M$ un difféomorphisme hyperbolique de classe $C^1$. Une telle application possède de nombreuses mesures invariantes, mais il existe deux classes intéressantes appelées mesures physiques et mesures SRB (voir définition \ref{Definition of physical measure} et définition \ref{Definition of SRB measure}). En gros, une mesure physique nous donne le comportement asymptotique de l'orbite d'un point typique par rapport à la mesure de Lebesgue sur $M$. Si $f$ est $C^{1+\alpha},$ c'est un résultat classique que $f$ a une mesure SRB unique qui est aussi physique (pour un article de synthèse voir \cite{Young2002SRBsurvey}). Dans cette thèse, nous nous intéresserons à l'existence de mesures physiques et SRB en régularité faible. Si $\omega:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ est un module de continuité, on dit que $f$ est $C^{1+\omega}$ si $f$ est $C^1$ et que le module de continuité de $df$ est au plus un multiple de $\omega,$ c'est-à-dire qu'il existe $C>0$ tel que \begin{equation*} \|df_x-df_y\|\leq C\omega\big(d(x,y)\big), \forall x,y\in M. \end{equation*} Nous disons qu'un module $\omega$ est Dini sommable si \begin{equation}\label{Condition de Dini} \int_0^1\frac{\omega(t)}{t}~dt<+\infty. \end{equation} Cette condition était connue depuis les travaux d'Anosov en 1967 \cite{anosov1967geodesic,AnosovRemark}, mais il ne lui avait pas donné de nom spécifique. Plus tard, en 1975, Walters a donné une formulation équivalente de cette condition dans le cas d'un espace symbolique, qui est une sommabilité de variation \cite{WaltersSummabilityOscilation}. Ensuite, en 1994, Gora a nommé cette condition la condition de Schmitt, et a prouvé qu'il s'agit de la condition la plus faible qui garantit l'existence d'une mesure de probabilité invariante absolument continue (ACIP) pour une application dilatante par morceaux \cite{SchmittCondition}. Peu après, en 2000, Li et Zhang ont appelé cette condition la condition de Dini, et ont montré qu'elle est suffisante pour obtenir la convergence de l'opérateur de transfert \cite{ExistSRBExpandZhang}. Séparément, en 2001, Fan et Jiang ont prouvé les mêmes résultats (voir \cite{FanJiang}), de plus, ils ont donné une vitesse de convergence de l'opérateur de transfert défini par un potentiel qui a un module de continuité de Dini (\cite{FanJiang2001speed}) (Pour une introduction plus classique à l'opérateur de transfert, voir \cite{Polli1990Zeta, BaladiTransferOp}). Si $T$ est une application dilatante de classe $C^1$, avec une dérivée dont le module satisfait la condition \eqref{Condition de Dini}, alors $T$ a une ACIP ergodique unique. Gora et Schmitt ont donné un exemple explicite d'une application dilatante de classe $C^1$ qui n'admet pas d'ACIP \cite{GoraSchmittExample}. Ensuite, Quas a prouvé que, génériquement, les applications dilatantes de classe $C^1$ du cercle n'ont pas d'ACIP \cite{QuassNoAcip}. Il a donné aussi un exemple d'une application dilatante de classe $C^1$ avec un ACIP qui n'est pas ergodique. Peu après, Avila et Bochi ont prouvé que, génériquement, les applications de classe $C^1$ d'une variété riemanniene compacte n'ont pas d'ACIP \cite{AvilaBochiNoAcip}. Une question naturelle est de savoir si la condition \eqref{Dini condition} est suffisante pour avoir une mesure SRB ou physique invariante pour les applications hyperboliques? La réponse est positive, et c'est l'objectif principal de cette thèse.
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tel-04544602 , version 1 (12-04-2024)

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  • HAL Id : tel-04544602 , version 1

Cite

Houssam Boukhecham. Existence of SRB measures for hyperbolic maps with weak regularity. Dynamical Systems [math.DS]. Université Paris 12, 2023. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04544602⟩
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